LA LÓGICA MODERNA II

A principios del mismo siglo, David Hilbert se propuso como meta encontrar “una lógica pura que descanse en sí misma y no una lógica metodológica que descanse en la realidad”, como era el caso de la lógica tradicional que se desprende de Aristóteles. 

Su proyecto consistía básicamente en dos puntos, el primero: “que todas las fórmulas del sistema deductivo puro sean verdaderas; es decir: no contradictorias. Porque, para Hilbert, verdad es ausencia de contradicción de las fórmulas entre sí, deduciéndose de los axiomas del mismo sistema. 

Esto es, donde todas las fórmulas sean teoremas. El segundo: que se pueda decidir dentro del propio sistema deductivo puro la prueba de su consistencia”.

David Hilbert

Kurt Gödel en 1931 mostró en dos teoremas que tal proyecto era irrealizable. En el primer teorema Gödel construye una fórmula verdadera, dentro de un sistema deductivo puro consistente, que no se puede deducir de los axiomas de ese sistema pues de lo contrario se podría también deducir del mismo sistema la fórmula contradictoria de esa fórmula verdadera, con lo cual el sistema se haría inconsistente. Lo que quiere decir que si el sistema ha de mantenerse consistente no puede incluir esa nueva fórmula verdadera dentro de las fórmulas deducidas de los axiomas. Por tanto, mediante este primer teorema demostró que el sistema es incompleto, es decir, si el sistema deductivo puro es consistente es incompleto con una fórmula verdadera indecidible dentro del sistema. 

En el segundo teorema, Gödel demuestra que si el sistema es consistente su consistencia no se puede decidir dentro del sistema, es decir, que si el sistema deductivo puro es consistente la prueba de su consistencia está fuera del sistema mismo.

La propuesta de Gödel demostró que “la no contradicción de un sistema es una proposición no demostrable en el sistema” y conduce a un principio de “incertidumbre” o “tolerancia lógica”, en donde se puede afirmar que sólo hay lógica en los niveles de demostración mínimos, e incluso en esos niveles mínimos pueden presentarse verdaderos callejones sin salida. 

En la antigüedad había una paradoja que servía a los escépticos para demostrar lo anterior; ella afirmaba que Epiménides, el cretense, declaraba sinceramente, que todos los cretenses son mentirosos. Situación que planteaba una verdadera aporía ya que si este cretense decía la verdad, 

mentía y si mentía decía la verdad.

Gödel